Question

11．如图1，光线CO经过镜面AB反射得到光线OD，过点O作OP⊥AB，已知∠AOC=∠DOB．
（1）求证：∠COP=∠DOP；
（2）如图2，若光线DE经取镜面AB和BC两次反射后得到光线FG，已知∠AED=∠BEF=α，∠EFB=∠GFC=β．
①若两镜面形成的夹角∠ABC=90°，求证：DE∥FG；
②如图3，若两镜面形成的夹角∠ABC=130°，过点F作PF⊥BC，且PF∥DE，求α和β的值．

Answer 1

分析 （1）先根据OP⊥AB得出∠AOE=∠BOE，再由∠AOC=∠DOB即可得出结论；
（2）①过点E作EP⊥AB，过点F作FH⊥BC，根据反射定律可知∠DEP=∠FEP，∠EFH=∠GFH，再由∠B=90°可知α+β=90°，再由∠BEF+∠FEP=90°，即α+∠FEP=90°，故∠FEP=β，再由∠AED=∠BEF=α可得出∠DEP=β，故∠DEF=2β．同理，∠EFG=2α，故∠DEF+∠EFG=180°，由此可得出结论；
②延长DE交CB的延长线于点G，根据补角的定义得出∠EBG的度数，由直角三角形的性质求出∠BEP的度数，根据对顶角相等得出α的值，由三角形内角和定理可得出β的值．

解答 （1）证明：∵OP⊥AB，
∴∠AOP=∠BOP=90°．
∵∠AOC=∠DOB，
∴∠COP=∠DOP；

（2）证明：①如图2，过点E作EP⊥AB，过点F作FH⊥BC，根据反射定律可知∠DEP=∠FEP，∠EFH=∠GFH，
∵∠B=90°，
∴∠BEF+∠BFE=90°，即α+β=90°．
∵∠BEF+∠FEP=90°，即α+∠FEP=90°，
∴∠FEP=β．
∵∠AED=∠BEF=α，∠DEP=β，
∴∠DEF=2β．
同理，∠EFG=2α，
∴∠DEF+∠EFG=180°，
∴DE∥FG；
②解：如图3，延长DE交CB的延长线与点G，
∵∠ABC=130°，
∴α=∠EBG=180°-130°=50°，
∴∠BEP=90°-50°=40°．
在△EBF中，β=180°-130°-40°=10°．

点评 本题考查的是平行线的判定与性质，熟知入射角等于反射角是解答此题的关键．