Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，且AD=AB，AB=2，求：
（1）∠DAC的度数；
（2）△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）先根据点D是BC的中点得出AD=BD，故可判断出△ABD的形状，进而可得出结论；
（2）根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．

解答 解：（1）∵AB=2，点D是BC的中点，
∴AD=BD．
∵AD=AB，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
∴∠DAC=90°-60°=30°；

（2）∵由（1）知BD=2，
∴BC=2BD=4．
∵∠BAC=90°，AB=2，
∴AC=$\sqrt{{BC}^{2}-{AB}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB+AC+BC=2+2$\sqrt{3}$+4=6+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．