Question

如图，A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点．OA、OB的长分别是x²-14x+48=0的两根（OA＞OB），直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向向终点C移动
（1）设△APB和△OPB的面积为S₁，S₂，则S₁：S₂=

 

．
（2）P点移动时间为t，当t=

 

时△OPC是等腰三角形．

Answer 1

考点：勾股定理,坐标与图形性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定

专题：

分析：（1）过P点作PD⊥BO，PH⊥AB，垂足分别为D、H，由BC为∠ABO的平分线，可得PH=PD，则可得S₁：S₂=AB：OB，又∵OA、OB的长是方程x²-14x+48=0的两根（OA＞OB），解方程即可求得OA，OB的长，则可得S₁：S₂的值；
（2）分别取三个点做顶角的顶点，然后求出符合题意的t的值．

解答：解：（1）如图，过P点作PD⊥BO，PH⊥AB，垂足分别为D、H，
∵BC为∠ABO的平分线，
∴PH=PD，
∴S₁：S₂=AB：OB，
又∵OA、OB的长是方程x²-14x+48=0的两根（OA＞OB），
解方程得：x₁=8，x₂=6，
∴OA=8，OB=6，
∴AB=10，
∴S₁：S₂=AB：OB=5：3；

（2）①OP=OC时，t=

9 5

5

；
②PC=PO时，P在OC的中垂线上，x_p=1.5，代入直线BC的解析式y=-2x+6，
得P（1.5，3），
利用勾股定理可得PC=

1．52+32

=

3 5

2

，
PB=BC-PC=3

5

-

3 5

2

=

3 5

2

，
所以t=

3 5

2

；
③CP=CO=3时，t=3

5

-3．
故答案为5：3；

9 5

5

秒或

3 5

2

秒或（3

5

-3）秒．

点评：本题主要考查了三角形的面积，勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形的判定，有一定难度．分类讨论是解题的关键．