Question

直线l：y=-2x+8与x轴、y轴交于点A、B，点P（0，t）是y轴上一动点，使⊙P的半径为3，在点P运动的过程中，点C是直线上l一点，过点C作⊙P的切线CD、CE，若CD⊥CE，且这样的点C有且只有一个，求C点坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：连接PD、PE、PC，如图1，易证四边形PDCE是正方形，从而求出PC，由于符合条件的点C有且只有一个，因此PC⊥AB，然后分别对点C在y轴的右侧、左侧进行讨论，运用相似三角形的性质就可解决问题．

解答：解：连接PD、PE、PC，如图1．
∵CD、CE是⊙P的切线，
∴∠PEC=∠PDC=90°．
∵CD⊥CE，
∴∠DCE=∠PEC=∠PDC=90°，
∴四边形PDCE是矩形．
∵PD=PE，
∴矩形PDCE是正方形．
∴PC=

2

PD=3

2

．
∵符合条件的点C有且只有一个，↑
∴PC⊥AB，且PC=3

2

．
①若点C在y轴的右侧，
过点C作CH⊥OB于H，如图2．
由直线y=-2x+8可知A的坐标为（4，0）、B的坐标为（0，8），
则有OA=4，OB=8，AB=

42+82

=4

5

．
∵∠PBC=∠ABO，∠BCP=∠BOA=90°，
∴△BCP∽△BOA．
∴

BC

BO

=

BP

BA

=

CP

OA

=

3 2

4

．
∴

BC

8

=

BP

4 5

=

3 2

4

．
∴BC=6

2

，BP=3

10

．
同理可得：△BCH∽△BAO．
∴

CH

OA

=

BH

BO

=

BC

BA

．
∴

CH

4

=

BH

8

=

6 2

4 5

．
∴CH=

6 10

5

，BH=

12 10

5

．
∴OH=OB-BH=8-

12 10

5

，
∴点C的坐标为（

6 10

5

，8-

12 10

5

）．
②若点C在y轴的左侧，
同理可得：点C的坐标为（-

6 10

5

，8+

12 10

5

）．
∴点C的坐标为（

6 10

5

，8-

12 10

5

）或（-

6 10

5

，8+

12 10

5

）．

点评：本题主要考查了切线的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，需要注意的是点C是动点，它的坐标与位置有关，故需分情况讨论，否则就会出现漏解的现象．