Question

先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

-

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…
（1）计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

=

 

．
（2）探究：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

（用含有n的式子表示）．
（3）若

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

15

31

，求n的值．

Answer 1

考点：分式的加减法,解分式方程

专题：规律型

分析：（1）观察一系列等式，得出拆项规律，原式利用拆项方法计算即可得到结果；
（2）根据得出的规律，计算即可得到结果；
（3）已知等式左边利用拆项法则计算，即可求出n的值．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

=1-

1

6

=

5

6

；

（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（3）已知等式变形得：

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

1

2

×

2n

2n+1

=

15

31

，
去分母得：31n=30n+15，
解得：n=15．
故答案为：（1）

5

6

；（2）

n

n+1

．

点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．