Question

17．如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，C经过B，C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求A点的坐标．
（2）求该抛物线的函数表达式．
（3）连接AC．请问：在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求值直线y=-x+3与x轴的交点B，然后根据AB的长，即可求得OA的长，则A的坐标即可求得；
（2）利用待定系数法求得二次函数的解析式；
（3）分成$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，∠PBQ=∠ABC=45°和$\frac{QB}{AB}$=$\frac{PB}{BC}$，∠QBP=∠ABC=45°两种情况求得QB的长，据此即可求解．

解答 解：（1）当y=0时，-x+3=0，解得x=3，即B（3，0），
又∵点A与点B关于x=2对称，
∴A的坐标为（1，0）；

（2）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式是：y=x²-4x+3；

（3）①当$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC，即$\frac{BQ}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BQ=3，
又∵BO=3，
∴点Q与点O重合，
∴Q₁的坐标是（0，0）．
②当$\frac{QB}{AB}$=$\frac{PB}{BC}$，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC，即$\frac{QB}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
QB=$\frac{2}{3}$．
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$
∴Q₂的坐标是（$\frac{7}{3}$，0）．
∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴点Q不可能在B点右侧的x轴上
综上所述，在x轴上存在两点Q₁（0，0），Q₂（$\frac{7}{3}$，0）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，正确进行分类求得QB的长是解题的关键．