Question

18．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，
请按要求完成下列各题：
（1）用2B铅笔画AD∥BC（D为格点），连接CD；
（2）线段CD的长为2$\sqrt{5}$；
（3）请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是∠CAD或∠ADC，则它所对应的正弦函数值是$\frac{1}{2}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用网格结合平行线的判定方法得出D点位置；
（2）直接利用勾股定理得出DC的长；
（3）利用勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，进而得出答案；
（4）利用锐角三角三角函数关系得出tan∠CAE的值．

解答 解：（1）如图所示：D点即为所求；

（2）DC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{5}$；
故答案为：2$\sqrt{5}$；

（3）在△ACD的三个内角中所选的锐角是：∠CAD，
∵CD=$\sqrt{5}$，AD=5，AC=2$\sqrt{5}$，
∴CD²+AC²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD它所对应的正弦函数值是：$\frac{1}{2}$；
当所选的锐角是：∠ADC，
则∠ADC它所对应的正弦函数值是：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
故答案为：∠CAD；$\frac{1}{2}$；或∠ADC，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；

（4）∵E为BC中点，
∴tan∠CAE的值是：$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 此题主要考查了复杂作图以及解直角三角形，正确应用锐角三角三角函数关系是解题关键．