Question

14．如图，已知线段AB，AC
（1）作⊙O使得线段AB，AC为⊙O的两条弦（要求尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）中的⊙O上找出点D，使得点D到A、B两点的距离相等
（3）在（2）中，若AB=8，⊙O的半径为5，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据弦的垂直平分线经过圆心，先作出两条弦的中垂线，其交点即为圆心；
（2）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，即可得出点D；
（3）根据垂径定理以及勾股定理，即可得出△ABD的AB边长的高，进而得出△ABD的面积．

解答 解：（1）如图所示，⊙O即为所求；

（2）如图所示，点D₁，D₂即为所求；
（3）如图所示，连接AO，则AO=5，

∵AB⊥D₁D₂，AB=8，
∴AE=4，
∴Rt△AOE中，OE=3，
∴D₁E=5-3=2，D₂E=5+3=8，
∴△ABD₁的面积=$\frac{1}{2}$×8×2=8，
△ABD₂的面积=$\frac{1}{2}$×8×8=32，
故△ABD的面积为8或32．

点评 本题主要考查了复杂作图，线段垂直平分线的性质以及垂径定理的综合应用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．