Question

10．如图所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且AB＞AC．求证：BE-AC=AE．

Answer 1

分析 过点D作DG⊥CA交CA的延长线于点G，连接DC，DB，根据垂直平分线和角平分线的性质可先证明Rt△CDG≌Rt△BDE，再证明△ADG≌△ADE，再利用线段的和差可证得结论．

解答 证明：
如图所示，过点D作DG⊥CA交CA的延长线于点G，连接DC，DB．
∵AD是△ABC的外角平分线，DE⊥AB，DG⊥CA，
∴DE=DG．
∵DF垂直平分BC，
∴DC=DB，
在Rt△CDG与Rt△BDE中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{DC=DB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDG≌Rt△BDE（HL），
∴CG=BE．
∵∠GAD=∠EAD，∠AGD=∠AED，AD=AD，
∴在△ADG与△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAD=∠EAD}\\{∠AGD=∠AED}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ADE（AAS），
∴AG=AE，
∴CG=AE+AC，
∴BE=AE+AC，
∴BE-AC=AE．

点评 本题主考查了全等三角形的性质和判定、线段的垂直平分线定理和角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线，利用中垂线的性质构造三角形全等是解题的关键．