操作:如图.边长为2的正方形ABCD.点P在射线BC上.将△ABP沿AP向右翻折.得到△AEP.DE所在直线与AP所在直线交于点F．探究:(1)如图1.当点P在线段BC上时.①若∠BAP=30°.求∠AFE的度数,②若点E恰为线段DF的中点时.请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置?并求出此时∠AFD的度数．归纳:(2)若点P是线段BC上任意一点时.∠AFD的度数是否会� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．
探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD的度数．
归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；
猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论．

分析（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF相等，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；
（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG度数，即可求出∠F度数；
（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可．

解答解：（1）①∵∠EAP=∠BAP=30°，
∴∠DAE=90°-30°×2=30°，
在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，
∴∠ADE=∠AED=（180°-30°）÷2=75°，
在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，
∴∠F=180°-60°-75°=45°；
②点E为DF的中点时，P也为BC的中点，理由如下：

如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，
∵EG∥AD，DE=EF，
∴EG=$\frac{1}{2}$AD=1，
∵AB=AE，
∴点A在线段BE的垂直平分线上，
同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，
∴AF垂直平分线段BE，
∴OB=OE，
∵GE∥BP，
∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，
∴△BOP≌△EOG，
∴BP=EG=1，即P为BC的中点，
∴∠DAF=90°-∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，
∴∠AFD=180°-∠DAF-∠ADF=45°；
（2）∠AFD的度数不会发生变化，
证明：作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，

在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，
∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$×90°=45°，即∠FAG=45°，
则∠F=90°-45°=45°；
（3）如图2所示，∠AFE的大小不会发生变化，∠AFE=45°，

作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，
设∠DAG=∠EAG=α，
∴∠BAE=90°+2α，
∴∠FAE=$\frac{1}{2}$∠BAE=45°+α，
∴∠FAG=∠FAE-∠EAG=45°，
在Rt△AFG中，∠AFE=90°-45°=45°．