Question

18．半径为2a的圆O中，弦AB的长为$2\sqrt{3}$a，则弦AB所对的圆周角的度数是120°或60°．

Answer 1

分析 先根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OF⊥AB，由垂径定理可求出AF的长，根据特殊角的三角函数值可求出∠AOF的度数，由圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求出答案．

解答 解：如图所示，连接OA、OB，过O作OF⊥AB，则AF=$\frac{1}{2}$AB，∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵OA=2，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴sin∠AOF=$\frac{AF}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOF=60°，
∴∠AOB=2∠AOF=120°，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠AEB=180°-60°=120°，
∴∠ADB=180°-120°=60°，
故答案为：120°或60°．

点评 本题考查的是圆周角定理及垂径定理，解答此题时要注意一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互为补角．