Question

4．如图，在正方形ABCD中，E是AD边上的动点（与A、D不重合），点F在边BC的延长线上，且AE=CF，连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交于点H．
（1）求证：EF∥AC；
（2）若 BE=EG，求∠BEF大小；
（3）求证：tan∠ABE=$\frac{GF}{AH}$-1．

Answer 1

分析 （1）根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定．
（2）先确定△GCF是等腰直角三角形，得出CG=AE，然后通过△BAE≌△BCG，得出BE=BG=EG，即可求得．
（3）由△BAE≌△BCG知∠ABE=∠CBG，结合∠BAC=∠F=45°证△AHB∽△FGB得$\frac{AH}{GF}$=$\frac{AB}{BF}$=$\frac{1}{\frac{BF}{AB}}$=$\frac{1}{\frac{BC+CF}{AB}}$=$\frac{1}{\frac{AB+AE}{AB}}$=$\frac{1}{1+\frac{AE}{AB}}$=$\frac{1}{1+tan∠ABE}$，即可求得．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AEFC是平行四边形，
故EF∥AC．

（2）连接BG，

∵四边形ABCD是正方形，且EF∥AC，
∴∠DEG=∠DAC=45°，∠DGE=∠DCA=45°；                  
故∠CFG=∠DEG=45°，∠CGF=∠DGE=45°，
∴∠CGF=∠CFG，CG=CF；
∵AE=CF，
∴AE=CG；
在△ABE与△CBG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠EAB=∠GCB}\\{AE=CG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌CBG（SAS），
∴BE=BG；
又∵BE=EG，
∴BE=BG=EG，△BEG是等边三角形，
故∠BEF=60°．

（3）∵△BAE≌△BCG，
∴∠ABE=∠CBG，
∵∠BAC=∠F=45°，
∴△AHB∽△FGB，
∴$\frac{AH}{GF}$=$\frac{AB}{BF}$=$\frac{1}{\frac{BF}{AB}}$=$\frac{1}{\frac{BC+CF}{AB}}$=$\frac{1}{\frac{AB+AE}{AB}}$=$\frac{1}{1+\frac{AE}{AB}}$=$\frac{1}{1+tan∠ABE}$，
∴1+tan∠ABE=$\frac{GF}{AH}$，即tan∠ABE=$\frac{GF}{AH}$-1．

点评 本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，连接BG是本题的关键．