Question

20．阅读材料：
求1+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁵的值．
解：设 S=1+2+2²+2³+…2²⁰¹⁵①，
①×2得：2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶②，
②-①得2S-S=2²⁰¹⁶-1，
即S=1+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶-1．
请你仿照此法计算：
（1）1+2+2²+2³+2⁴+2⁵=63；
（2）求1+3+3²+3³+…+3ⁿ的值．（其中n为正整数）

Answer 1

分析 （1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+2⁵，则2S=2+2²+…+2⁶，两个式子相减即可解决问题．
（2）设S=1+3+3²+3³+…+3ⁿ①，①×3得：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹②，②-①即可解决问题．

解答 解：（1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+2⁵，
则2S=2+2²+…+2⁶，
∴2S-S=2⁶-1=63．
故答案为63．
（2）解：设S=1+3+3²+3³+…+3ⁿ①
①×3得：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹②
②-①得：3S-S=3ⁿ⁺¹-1
则2S=3ⁿ⁺¹-1即$S=\frac{1}{2}（{3^{n+1}}-1）$
所以$1+3+{3^2}+{3^3}+…+{3^n}=\frac{1}{2}（{3^{n+1}}-1）$

点评 本题考查规律型-数字变化类题目，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解法，记住这种解题的方法，属于中考常考题型．