Question

8．如图①，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+2）²+$\sqrt{b-2}$=0，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积．
（2）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图②，求∠AED的度数．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质得a+2=0，b-2=0，解得a=-2，b=2，则A（-2，0），C（2，2），B（2，0），然后根据三角形面积公式计算S_△ABC；
（2）如图③，AC交y轴于Q，先确定Q（0，1），设P（0，t），利用三角形面积公式和S_△PAC=S_△APQ+S_△CPQ=S_△ABC得到$\frac{1}{2}$•|t-1|•2+$\frac{1}{2}$•|t-1|•2=4，然后解方程求出t即可得到P点坐标；
（3）作EM∥AC，如图②，则AC∥EM∥BD，根据平行线的性质得∠CAE=∠AEM，∠BDE=∠DEM，则∠AED=∠CAE+∠BDE，而∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ODB，所以∠AED=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ODB），而由AC∥BD得到∠CAB=∠OBD，于是∠CAB+∠ODB=∠OBD+∠ODB=90°，则∠AED=45°．

解答 解：（1）∵（a+2）²+$\sqrt{b-2}$=0，
∴a+2=0，b-2=0，解得a=-2，b=2，
∴A（-2，0），C（2，2），
∵CB⊥x轴，
∴B（2，0），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（2+2）×2=4；
（2）存在．
如图③，AC交y轴于Q，则Q（0，1），
设P（0，t），
∵S_△PAC=S_△APQ+S_△CPQ=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•|t-1|•2+$\frac{1}{2}$•|t-1|•2=4，解得t=3或t=-1，
∴P点坐标为（0，3），（0，-1）；
（3）作EM∥AC，如图②，
∵AC∥BD，
∴AC∥EM∥BD，
∴∠CAE=∠AEM，∠BDE=∠DEM，
∴∠AED=∠CAE+∠BDE，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ODB，
∴∠AED=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ODB），
∵AC∥BD，
∴∠CAB=∠OBD，
∴∠CAB+∠ODB=∠OBD+∠ODB=90°，
∴∠AED=$\frac{1}{2}$×90°=45°．

点评 本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了平行线的性质和三角形面积公式．