Question

14．如图，AB，CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，∠AOB=∠COD．
（2）如果$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，那么∠AOB=∠COD，AB=CD．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，AB=CD．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE与OF相等吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）、（2）、（3）利用圆心角、弧、弦的关系直接求解；
（4）先利用垂径定理得到AE=BE，CF=DF，而AB=CD，则AE=CF，然后利用勾股定理可判断OE=OF．

解答 解：（1）如果AB=CD，那么$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，∠AOB=∠COD；
（2）如果$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，那么∠AOB=∠COD；AB=CD；
（3）如果∠AOB=∠COD，那么$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，AB=CD；
（4）OE与OF相等．利用如下：
∵OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，
∴AE=BE，CF=DF，
而AB=CD，
∴AE=CF，
∵OF=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$，OF=$\sqrt{O{C}^{2}-C{F}^{2}}$，
∴OE=OF．
故答案为$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，∠AOB=∠COD；∠AOB=∠COD，AB=CD；$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，AB=CD．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．