Question

4．在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²$+\frac{5-a}{2}$x+2a-2经过x轴上一定点Q，直线y=（a-2）x+2经过点Q．求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 根据题意求得Q的坐标，然后代入y=（a-2）x+2求得a的值，即可求得抛物线的解析式．

解答 解：∵不论a取何值，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²$+\frac{5-a}{2}$x+2a-2经过x轴上一定点Q，
∴当a=0，则y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2，当a=1时y=-$\frac{1}{2}$x²+2x，
令y=0，则-$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2=0}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x=0}\end{array}\right.$
解得x=4，
∴Q（4，0），
∵直线y=（a-2）x+2经过点Q．
∴0=（a-2）×4+2，
解得a=$\frac{3}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{4}$x+1．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，求得Q点的坐标是解题的关键．