Question

19．问题情境：如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A，C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF，AD．
探究展示：（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2的情形，图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．
变式练习：（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图3，且AC=4，BC=3，CD=$\frac{4}{3}$，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，请判断线段BF、AD所在直线的位置关系，并证明你的判断．

Answer 1

分析 （1）①结论：BF=AD，BF⊥AD；只要证明△BCF≌△ACD，推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出结论；②证△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出结论；
（2）首先证明△BCF∽△ACD，得∠CBF=∠CAD，因为∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，所以∠CAD+∠AHO=90°，即可得出BF⊥AD，

解答 解：（1）①结论：BF=AD，BF⊥AD；
理由：如图1中，延长BF交AD于H．

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=CF，∠FCD=90°，
∴∠BCF=∠ACD，
在△BCF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACD}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACD（SAS），
∴BF=AD，∠CBF=∠CAD，
又∵∠BFC=∠AFH，∠CBF+∠BFC=90°，
∴∠CAD+∠AFH=90°，
∴∠AHF=90°，
∴BF⊥AD；
∴BF=AD，BF⊥AD；

②BF=AD，BF⊥AD仍然成立，
证明：如图2中，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=CF，∠FCD=90°，
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，
即∠BCF=∠ACD，
在△BCF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACD}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACD（SAS），
∴BF=AD，∠CBF=∠CAD，
又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴BF⊥AD；

（2）结论：BF⊥AD．
证明：如图3中，

∵四边形CDEF是矩形，
∴∠FCD=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠FCD
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，
即∠BCF=∠ACD，
∵AC=4，BC=3，CD=$\frac{4}{3}$，CF=1，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CF}{CD}$=$\frac{3}{4}$，
∴△BCF∽△ACD，
∴∠CBF=∠CAD，
又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°
∴∠CAD+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴BF⊥AD，

点评 本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形，学会证明90°角的方法，属于中考常考题型．