Question

17．正方形ABCD的边长是5，点M是直线AD上一点，连接BM，将线段BM绕点M逆时针旋转90°得到线段ME，在直线AB上取点F，使AF=AM，且点F与点E在AD同侧，连接EF，DF．
（1）如图?1，当点M在DA延长线上时，求证：△ADF≌△ABM；
（2）如图2?，当点M在线段AD上时，四边形DFEM是否还是平行四边形，说明理由；
（3）在（2）的条件下，线段AM与线段AD有什么数量关系时，四边形DFEM的面积最大？并求出这个面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据SAS即可证明；
（2）只要证明EM=DF，EM∥DF即可解决问题；
（3）如图2中，设DM=x，则AM=AF=5-x，构建二次函数，理由二次函数的性质即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF=∠BAM=90，AD=AB，
在△ADF和△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AM}\\{∠DAF=∠BAM}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABM．

（2）如图2中，结论：四边形DFEM是平行四边形．

理由：延长BM交DF于K．
∵△ADF≌△ABM，
∴DF=BM，∠ABM=∠ADF，
∵EM=BM，
∴EM=DF，
∵∠ABM+∠AMB=90°，∠AMB=∠DMK，
∴∠ADF+∠DMK=90°，
∴∠BKD=90°，
∵∠EMB=90°，
∴∠EMB=∠BKF=90°，
∴EM∥DF，
∴四边形EFDM是平行四边形．

（3）如图2中，设DM=x，则AM=AF=5-x，
S_{平行四边形EFDM}=DM•AF=x（5-x）=-（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∵-1＜0，
∴x=$\frac{5}{2}$时，平行四边形EFDM的面积最大，最大面积为$\frac{25}{4}$，
∴当AM=$\frac{1}{2}$AD时，平行四边形EFDM的面积最大，最大面积为$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值值问题，属于中考压轴题．