Question

8．如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由；
（2）求证：AE+CD=AC．

Answer 1

分析 （1）先证出∠CAF+∠ACF=60°，得出∠DFE=∠AFC=120°，证出∠ABC+∠DFE=180°，证出B、E、F、D四点共圆，得出$\widehat{FE}=\widehat{FD}$，即可得出FE=FD；
（2）在AC上截取AG=AE，连接GF，先证明△AGF≌△AEF，得出FG=FE，∠AFG=∠AFE=60°，再证明△CFG≌△CFD，得出CG=CD，即可得出结论．

解答 （1）解：FE=FD；理由如下：连接BF，如图所示：
∵∠ABC=60°，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠CAF=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ACF=$\frac{1}{2}$∠BCA，BF平分∠ABC，
∴∠CAF+∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）=60°，∠ABF=∠CBF，
∴∠DFE=∠AFC=120°，∠DFC=∠AFE=60°，
∴∠ABC+∠DFE=180°，
∴B、E、F、D四点共圆，
∴$\widehat{FE}=\widehat{FD}$，
∴FE=FD；
（2）证明：在AC上截取AG=AE，连接GF，如图所示：
在△AGF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}&{\;}\\{∠GAF=∠EAF}&{\;}\\{AF=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴FG=FE，∠AFG=∠AFE=60°，
∴FG=FD，∠GFC=120°-60°=60°，
在△CFG和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{FG=∠FD}&{\;}\\{∠GFC=∠DFC=60°}&{\;}\\{FC=FC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴CG=CD，
∴AE+CD=AG+CG=AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、四点共圆、角平分线的定义、三角形内角和定理、圆周角定理；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明四点共圆和三角形全等才能得出结论．