Question

13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=BC，直线l在△ABC的外部且过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为点D、E．
（1）试说明：△ACD≌△CBE；
（2）如果直线l过点C且经过△ABC的内部，其他条件不变，结论是否仍然成立？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据垂直得出∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，根据三角形的内角和定理和邻补角得出∠DAC=∠ECB，根据AAS证△ADC≌△CEB；
（2）成立，用（1）的方法可证．

解答 解：（1）如图1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠3+∠1=90°，∠1+∠2=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠1=∠3}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）成立，如图2，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，∠DCA+∠ECB=∠ACB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．

点评 本题考查了邻补角，垂线，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，三角形的内角和定理等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．