如图.直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$与x轴.y轴分别交于点A.点B.两动点D.E分别从点A.点B同时出发向点O运动.运动速度分别是1个单位长度/秒和$\sqrt{3}$个单位长度/秒.设运动时间为t秒.以点A为顶点的抛物线经过点E.过点E作x轴的平行线.与抛物线的另一个交点为点G.与AB相交于点F．(1)求点A.点B的坐标,(2)用含t的代数式分别表� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和$\sqrt{3}$个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；
（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．
（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

分析（1）在直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$中，分别令y=0和x=0，容易求得A、B两点坐标；
（2）由OA、OB的长可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；
（3）利用菱形的性质可求得t的值，则可求得AF=AG的长，可得到$\frac{AF}{AG}$=$\frac{AG}{AB}$，可判定△AFG与△AGB相似；
（4）若△AGF为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由（2）可知AF=4-2t，EF=t，又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．

解答解：
（1）在直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$中，
令y=0可得0=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，解得x=2，
令x=0可得y=2$\sqrt{3}$，
∴A为（2，0），B为（0，2$\sqrt{3}$）；
（2）由（1）可知OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°，
∵运动时间为t秒，
∴BE=$\sqrt{3}$t，
∵EF∥x轴，
∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=t，BF=2EF=2t，
在Rt△ABO中，OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=4，
∴AF=4-2t；
（3）相似．理由如下：
当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，
即t=4-2t，解得t=$\frac{4}{3}$，
∴AF=4-2t=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，OE=OB-BE=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，

则四边形OEGH为矩形，
∴GH=OE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，
∴OA=AH=2，
在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG²=GH²+AH²=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+2²=$\frac{16}{3}$，
又AF•AB=$\frac{4}{3}$×4=$\frac{16}{3}$，
∴AF•AB=AG²，即$\frac{AF}{AG}$=$\frac{AG}{AB}$，且∠FAG=∠GAB，
∴△AFG∽△AGB；
（4）存在，
∵EG∥x轴，
∴∠GFA=∠BAO=60°，
又G点不能在抛物线的对称轴上，
∴∠FGA≠90°，
∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，
又∠FGA=30°，
∴FG=2AF，
∵EF=t，EG=4，
∴FG=4-t，且AF=4-2t，
∴4-t=2（4-2t），
解得t=$\frac{4}{3}$，
即当t的值为$\frac{4}{3}$秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB-BE=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴E点坐标为（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∵抛物线的顶点为A，
∴可设抛物线解析式为y=a（x-2）²，
把E点坐标代入可得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=4a，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x-2）²，
即y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的对称性等．在（2）中求得∠ABO=30°是解题的关键，在（3）中求得t的值，表示出AG的长度是解题的关键，在（4）中判断出∠FAG为直角是解题的突破口．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．