Question

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}$MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法错误的是（　　）

• A． ∠BAD=∠CAD
• B． 点D到AB边的距离就等于线段CD的长
• C． S_△ABD=S_△ACD
• D． AD垂直平分MN

Answer 1

分析 根据作图方法可得AD平分∠CAB，由角平分线的定义和性质可得A、B说法正确，根据三角形的面积公式可得C错误，根据题目所给条件可证明△AMO≌△ANO，进而可得MO=NO，∠MOA=∠NOA，从而证得D选项说法正确．

解答 解：根据题意可得AD平分∠CAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠CAD，故A说法正确；

∵AD平分∠CAB，
∴点D到AB边的距离就等于线段CD的长，故B说法正确；

∵点D到AB边的距离就等于线段CD的长，AB＞AC，
∴S_△ABD＞S_△ACD，故C说法错误；

在△AMO和△ANO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AN}\\{∠MAO=∠NAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△ANO（SAS），
∴MO=NO，∠MOA=∠NOA，
∵∠MOA+∠NOA=180°，
∴∠MOA=90°，
∴AO⊥MN，
∴AD垂直平分MN，故D说法正确．
故选：C．

点评 此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法．