Question

3．如图，已知直线y=3-x交x轴于点A，交y轴于点B．双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）与直线交于点C、点D．点P是双曲线上位于C、D两点之间的一动点，过点P作y 轴的垂线交y轴于点F，交直线与点N．过点P作x轴的垂线交x轴于点E，交直线于点M．则BM•AN的值为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 过点M作MG⊥OB于G，过点N作NH⊥OA于H，然后由直线y=4-x交x轴、y轴于A、B两点，求得点A与B的坐标，则可得OA=OB，即可得△AOB，△BGM，△AHN是等腰直角三角形，则可得AN•BM=2GM•HN，再由矩形的性质和反比例函数的性质即可得出结论．

解答 解：过点M作MG⊥OB于G，过点N作NH⊥OA于H，如图所示：
∵直线y=4-x交x轴、y轴于A、B两点，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∴BG=GM，AH=HN，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴四边形GMPF与EHNP是矩形，
∴GM=PF，HM=PE，
∵P是反比例函数y=$\frac{2}{x}$图象上的一点，
∴PF′PE=2，
∴GM•HN=2，
在Rt△BGM中，BM=$\frac{GM}{sin45°}$=$\sqrt{2}$GM，
在Rt△AHN中，AN=$\frac{HN}{sin45°}$=$\sqrt{2}$HN，
∴AN′BM=$\sqrt{2}$GM•$\sqrt{2}$HN=2GM•HN=4．
故选C．

点评 此题考查了反比例函数的性质，以及矩形、等腰直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与转化思想的应用．