Question

13．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标，并求出此时△PAC的最小值；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点E，抛物线上的一个动点M，过M作MN⊥x轴于点N，是否存在点M，使以A、M、N为顶点的三角形与△BPE相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可．
（2）如图1中，连接BC与对称轴交于点P，此时△PAC的周长最小．求出直线BC的解析式即可解决问题．
（3）存在，如图2中，首先证明△APE是等腰直角三角形，直线y=x+1以及直线y=-x-1与抛物线的交点即为所求的点M，利用方程组即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D坐标为（1，4）．

（2）如图1中，连接BC与对称轴交于点P，此时△PAC的周长最小．

∵△PAC的周长=AC+PC+PA=AC+PC+PB=AC+BC，
又∵AC为定值，两点之间线段最短，
∴此时△PAC的周长最短，
设直线BC解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-x+3，
∵对称轴x=1，
∴点P坐标（1，2），
△PAC是周长最小值=AC+BC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$+$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$．

（3）存在，如图2中，

由（2）可知PE=AE=2，∠AEP=90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∵A（-1，0），P（1，2），
∴直线AP的解析式为y=x+1，设直线AP与抛物线的交点为M，
此时∵PE∥MN，
∴△AMN∽△APE，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴点M坐标为（2，3）．
∵直线AM关于x轴对称的直线AM′的解析式为y=-x-1，（M′是直线AM′与抛物线的交点，此时△AM′N′∽△APE），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴点M′坐标为（4，-5），
综上所述满足条件的点M坐标为（2，3）或（4，-5）．

点评 本题考查二次函数的综合题、待定系数法、一次函数、最小值问题、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称的思想解决最小值问题，学会寻找特殊三角形解决问题，学会用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．