Question

已知：AD是△ABC的高，DE、DF是△ADB、△ADC的高，求证：B，C，E，F四点共圆．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：证明题

分析：根据题意，做出图形，连接EF，根据DE、DF是△ADB、△ADC的高，证得A、E、D、F四点共圆，可得∠AEF=∠ADF，然后根据AD是△ABC的高，证明∠ADF=∠FCD，继而得出∠AEF=∠FCD，∠BEF+∠FCB=180°，然后即可证明B，C，E，F四点共圆．

解答：证明：连接EF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED+∠AFD=180°，
即A、E、D、F四点共圆，
∴∠AEF=∠ADF，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADF+∠CDF=90°，∠CDF+∠FCD=90°，
∴∠ADF=∠FCD，
∴∠AEF=∠FCD，
∴∠BEF+∠FCB=180°，
∴B、E、F、C四点共圆．

点评：本题考查了四点共圆，解答本题的关键是根据垂直得出A、E、D、F四点共圆，然后证明∠BEF+∠FCB=180°，即可证得四点共圆．