Question

10．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义证明；
（2）过点O作OE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到OE=OA，根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠DAC=∠ABC，
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
又∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD．
∴∠ABD=∠CBD．
∴BD平分∠ABC；

（2）解：过点O作OE⊥BC于E，
∵∠DAC=45°，∠DAC=∠ABC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠B AC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴OE=OA=1．
在Rt△OEC中，∠ACB=45°，OE=1，
∴OC=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．