Question

6．有这样一个问题：探究函数y=$\frac{{x}^{2}}{2x-2}$的图象与性质．
下面是小文的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=$\frac{{x}^{2}}{2x-2}$的自变量x的取值范围是x≠1；
（2）如表是y与x的几组对应值．

x	…	-3	-2	-1	0	2	3	4	5	…
y	…	-$\frac{9}{8}$	-$\frac{2}{3}$	-$\frac{1}{4}$	0	2	$\frac{9}{4}$	$\frac{8}{3}$	$\frac{25}{8}$	…

如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．
①观察图中各点的位置发现：点A₁和B₁，A₂和B₂，A₃和B₃，A₄和B₄均关于某点中心对称，则该点的坐标为（1，1）；
②小文分析函数y=$\frac{{x}^{2}}{2x-2}$的表达式发现：当x＜1时，该函数的最大值为0，则该函数图象在直线x=1左侧的最高点的坐标为（0，0）；
（3）小文补充了该函数图象上两个点（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$），（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$），
①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；
②写出该函数的一条性质：当x＞1时，该函数的最小值为1．

Answer 1

分析 （1）分式的分母不等于零；
（2）①根据中心对称的性质和所对应的点点坐标即可求得，②根据函数的性质求得即可；
（3）①根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
②可以从增减性、渐近性、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答．

解答 解：（1）依题意得：2x-2≠0，
解得x≠1，
故答案是：x≠1；

（2）①点A₁和B₁，A₂和B₂，A₃和B₃，A₄和B₄均关于某点中心对称，A₁（0，0），B₂（2，2），
∴中心点点坐标为（1，1）；
②∵当x＜1时，该函数的最大值为0，
∴该函数图象在直线x=1左侧的最高点的坐标为（0，0）；
故答案为（1，1）；（0，0）；
（3）①

②该函数的性质：
（ⅰ）当x＜0时，y随x的增大而增大；
当0≤x＜1时，y随x的增大而减小；
当1＜x＜2时，y随x的增大而减小；
当x≥2时，y随x的增大而增大．
（ⅱ）函数的图象经过第一、三、四象限．
（ⅲ）函数的图象与直线x=1无交点，图象由两部分组成．
（ⅳ）当x＞1时，该函数的最小值为1．
故答案为当x＞1时，该函数的最小值为1．

点评 本题考查了二次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．