Question

2．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：
①∠EBG=45°；            ②△DEF∽△ABG；
③S_△ABG=S_△FGH；        ④AG+DF=FG．
其中正确的是①④．（填写正确结论的序号）

Answer 1

分析 根据矩形的性质得出∠A=∠C=∠D=∠ABC=90°，AB=CD=6，BC=AD=10，根据折叠得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE，AG=GH，BC=BF=10，AB=BH=6，根据勾股定理求出AG=GH=3，再逐个判断即可．

解答 解：∵根据折叠得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴∠EBG=$\frac{1}{2}×90°=45°$，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=6，BC=AD=10，∠A=∠C=∠D=90°，
∴根据折叠得∠BFE=∠C=90°，
∴∠ABG+∠BGA=90°，∠EFD+∠BFA=90°，
∵∠BGA＞∠BFA，
∴∠BAG≠∠EFD，
∵∠GHB=∠A=90°，∠EFB=∠C=90°，
∴∠GHB=∠EFB，
∴GH∥EF，
∴∠EFD=∠HGF，
根据已知不能推出∠AGB=∠HGF，
∴∠AGB≠∠EFD，
即△DEF和△ABG不全等，∴②错误；
∵根据折叠得：AB=BH=6，BC=BF=10，
∴由勾股定理得：AF=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴DF=10-8=2，HF=10-6=4，
设AG=HG=x，
在Rt△FGH中，由勾股定理得：GH²+HF²=GF²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
即AG=HG=3，
∴S_△ABG=$\frac{1}{2}×AB×AG$=$\frac{1}{2}×6×3$=9，S_△FHG=$\frac{1}{2}×GH×HF$=$\frac{1}{2}×3×4$=6，∴③错误；
∵AG+DF=3+2=5，GF=10-3-2=5，∴④正确；
故答案为：①④．

点评 本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．