题目内容
1．
已知：如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x-3与坐标轴交于点A，C，经过点A，C的抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点B（2，0）．（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是抛物线在第三象限图象上的动点，是否存在点D，使得△DAC的面积最大？若存在，请求这个最大值并求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点D作DE⊥x轴于E，交AC于F，若AC恰好将△ADE的面积分成1：4两部分，请求出此时点D的坐标．
分析 （1）首先得出A点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）首先表示出DF的长，再利用S△ADC=S△ADF+S△DFC，进而得出面积与点坐标的函数解析式，即可求最值得出答案；
（3）分别利用①当DF：EF=1：4时，（-$\frac{1}{4}$m2-$\frac{3}{2}$m）：（$\frac{1}{2}$m+3）=1：4，②当DF：EF=4：1时，分别得出点D的坐标．
解答 解：（1）在y=-$\frac{1}{2}$x-3中，当y=0时，x=-6，
即点A的坐标为：（-6，0），
将A（-6，0），B（2，0）代入y=ax2+bx-3得：
$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b-3=0}\\{4a+2b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x2+x-3；
（2）设点D的坐标为：（m，$\frac{1}{4}$m2+m-3），则点F的坐标为：（m，-$\frac{1}{2}$m-3），
∴DF=-$\frac{1}{2}$m-3-（$\frac{1}{4}$m2+m-3）=-$\frac{1}{4}$m2-$\frac{3}{2}$m，
∴S△ADC=S△ADF+S△DFC
=$\frac{1}{2}$DF•AE+$\frac{1}{2}$•DF•OE
=$\frac{1}{2}$DF•OA
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m2-$\frac{3}{2}$m）×6
=-$\frac{3}{4}$m2-$\frac{9}{2}$m
=-$\frac{3}{4}$（m-3）2+$\frac{27}{4}$，
∵a=-$\frac{3}{4}$＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当m=3时，S△ADC存在最大值$\frac{27}{4}$，
又∵当m=3时，$\frac{1}{4}$m2+m-3=-$\frac{15}{4}$，
∴存在点D（3，-$\frac{15}{4}$），使得△ADC的面积最大，最大值为$\frac{27}{4}$；
（3）由题意可得△ADE的面积分成1：4两部分即是点F将DE分成1：4两部分
①当DF：EF=1：4时，（-$\frac{1}{4}$m2-$\frac{3}{2}$m）：（$\frac{1}{2}$m+3）=1：4，
解得：m1=-$\frac{1}{2}$，m2=-6（不合题意，舍去），
当m=-$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{4}$m2+m-3=-$\frac{55}{16}$，
∴点D的坐标为：（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{55}{16}$），
②当DF：EF=4：1时，（-$\frac{1}{4}$m2-$\frac{3}{2}$m）：（$\frac{1}{2}$m+3）=4：1，
解得：m1=-6（不合题意，舍去），m2=-8（不合题意，舍去），
综上所述存在点D（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{55}{16}$），使得AC恰好将△ADE的面积分成1：4两部分．
点评 此题主要考查了二次函数综合以及三角形面积求法等知识，正确表示出线段DF的长是解题关键．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案| A． | 黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙 | B． | 人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开 | ||
| C． | 水面上秤锤浮，直待黄河彻底枯 | D． | 一夜北风紧，开门雪尚飘 |
| A． | ①②③ | B． | ②③④ | C． | ①③④ | D． | ①②③④ |
如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是（ ）| A． | 12 | B． | 14 | C． | 16 | D． | 18 |
如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．连接ED，若ED=EC．