Question

如图，直线y=-

1

2

x上有一点A，过A点平行于x轴的直线交双曲线y=

k

x

（k≠0）于B点，交y轴于C点，若∠COB=∠A，且AB²-OB²=4，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：由点A在直线y=-

1

2

x上可得到AC=2OC，由∠COB=∠A可得到△OCB∽△ACO，从而得到

OC

AC

=

CB

CO

，进而可以得到OC=2BC，也就有AB=AC-BC=3BC，OB²=BC²+OC²=5BC²．由条件AB²-OB²=4就可得到BC的值，从而得到OC的值，就可求出k的值．

解答：解：设点A的坐标为（a，b），
则有AC=-a，OC=b．
∵点A在直线y=-

1

2

x上，
∴b=-

1

2

a即a=-2b．
∴AC=2OC．
∵∠COB=∠A，∠OCB=∠ACO，
∴△OCB∽△ACO．
∴

OC

AC

=

CB

CO

．
∴CO=2CB．
∴AC=2OC=4BC．
∴AB=3BC．
∵AC∥x轴，x轴⊥y轴，
∴AC⊥y轴．
∴OB²=BC²+OC²=BC²+（2BC）²=5BC²．
∵AB²-OB²=4，
∴（3BC）²-5BC²=4．
解得：BC=1．
∴OC=2．
∴点B的坐标为（-1，2）．
∵点B在双曲线y=

k

x

（k≠0）上，
∴k=-1×2=-2．
故答案为：-2．

点评：本题考查了反比例图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，而找到AB、OB与BC之间的关系是解决本题的关键．