Question

如图，直线y=-

1

2

x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，0）．
（1）求B、C两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）分别令解析式y=-

1

2

x+2中x=0和y=0，求出点B、点C的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式，求出a、b、c的值，进而求得解析式；
（3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P₁，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P₂，P₃，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（4）设出E点的坐标为（a，-

1

2

a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

解答：解：（1）令x=0，可得y=2，
令y=0，可得x=4，
即点B（4，0），C（0，2）；

（2）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
将点A、B、C的坐标代入解析式得，

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得：

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

，
即该二次函数的关系式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（3）∵y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
∴y=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
∴抛物线的对称轴是x=

3

2

．
∴OD=

3

2

．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=

5

2

．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP₁=DP₂=DP₃=CD．
如图1所示，作CE⊥对称轴于E，
∴EP₁=ED=2，
∴DP₁=4．
∴P₁（

3

2

，4），P₂（

3

2

，

5

2

），P₃（

3

2

，-

5

2

）；

（4）当y=0时，0=-

1

2

x²+

3

2

x+2
∴x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0）．
∵直线BC的解析式为：y=-

1

2

x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，-

1

2

a+2），F（a，-

1

2

a²+

3

2

a+2），
∴EF=-

1

2

a²+

3

2

a+2-（-

1

2

a+2）=-

1

2

a²+2a（0≤x≤4）．
∵S_{四边形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=

1

2

BD•OC+

1

2

EF•CM+

1

2

EF•BN，
=

1

2

+

1

2

a（-

1

2

a²+2a）+

1

2

（4-a）（-

1

2

a²+2a），
=-a²+4a+

5

2

（0≤x≤4）．
=-（a-2）²+

13

2

∴a=2时，S_{四边形CDBF的面积最大}=

13

2

，
∴E（2，1）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．