Question

【题目】抛物线y＝﹣+bx+c交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，直线AB的解析式为y＝．

（1）求b，c的值；

（2）BA沿y轴翻折180°得到BA′，F为A′B上一点，BF的垂直平分线交y轴于点L，R为x轴上一点，BF+OR＝2，QR⊥FL于Q，求QR的长；

（3）在（2）的条件下，直线LF交x轴于点D，E为抛物线第一象限上一点，BE＝BD，∠ABE+∠ABD＝180°，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）b＝，c＝2；（2）QR=＝2；（3）或

【解析】

（1）先求出A、B坐标再代入抛物线解析式即可算出b、c．

（2）设LQ延长线交x轴于点D，由题意可知LB＝LF，从而可确定∠DLO＝60°，因此只需求RD的长度就可以了，根据设而不求的思想，设BL＝LF＝m，分别表示出OL、OD、OR长度，OD﹣OR即是RD的长度，而QR是RD的一半．

（3）由∠ABE+∠ABD＝180°以及BE＝BD可以导出AB∥DE，作BP⊥AB交x轴于点P，连接EP，可证得△EDP是等边三角形，设D点横坐标为n，则可将E点坐标用n表示出来，再将E点坐标代入抛物线解析式即可求出n的值，也就求出了E点坐标．

（1）∵直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于A、B两点，

∴A（﹣2，0），B（0，2），

∵抛物线y＝﹣+bx+c经过A、B两点，

∴将A、B两点坐标代入抛物线解析析得：

﹣ ﹣2b+c＝0，c＝2，

∴b＝，c＝2，

∴抛物线的解析为．

（2）由题意知A'（2，0），

∴OA'＝2，

∴tan∠A'BO＝，所以∠OBA'＝30°，

∵L为BF垂直平分线上的点，

∴LB＝LF＝m，

∴∠LFB＝∠LBF＝30°，

∴∠OLQ＝60°，BF＝m，

∴OL＝OB﹣LB＝2﹣m，

设LQ的延长线与x轴交于点D，则∠LDO＝30°，

∴OD＝OL＝6﹣m，

∵BF+OR＝2，

∴OR＝2﹣BF＝2﹣m，

∴RD＝OD﹣OR＝4，

∵RQ⊥FL，

∴QR＝RD＝2．

（3）如图3，设G为AB延长上一点，作BP⊥AB交x轴于点P，

连接EP，作EH⊥x轴于H．

∵tan∠BAO＝，

∴∠BAO＝60°，

∴∠BPA＝30°，

∵∠ABE+∠ABD＝∠ABE+∠GBE＝180°

∴∠ABD＝∠GBE，

∵BD＝BE，

∴∠BDE＝∠BED，

∵∠ABD+∠DBE+∠GBE＝∠BDE+∠DBE+∠BED＝180°，

∴∠ABD＝∠GBE＝∠BDE＝∠BED，

∴AB∥DE，

∴∠EDP＝∠BAO＝60°，

∵BP⊥AB，

∴BP⊥DE，

∴PE＝PD，

∴△EDP是等边三角形，

∴PH＝DH＝ DP，

设D点坐标为（n，0），

∵OP＝OB＝6，

∴PD＝OP﹣OD＝6﹣n，

∴DH＝PH＝

∴E（，），

将E点坐标代入抛物线解析式解得n＝4或n＝ ，

∴E点坐标为或．