Question

13．在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，点E是AC上异于点C的一动点，过C、D、E三点的⊙O交BC与点F，连结CD、DE、DF、EF．
（1）△FED与△ABC相似吗？以图1为例说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，
①求⊙O半径r的范围；
②如图2，当⊙O与AB相切于点D时，求⊙O半径r的值．

Answer 1

分析 （1）先由直角三角形斜边的中线是斜边的一半，得出等腰三角形，得出∠BCD=∠B，再得出∠BCD=∠FEC，从而判断出结论．
（2）由△FED∽△ABC得出$\frac{EF}{AB}=\frac{DE}{BC}$，计算即可；
（3）先判断出FD=FB，EA=ED，再用勾股定理得出，（6-4x）²+（8-3x）²=（5x）²，计算即可．

解答 解：（1）△FED∽△ABC，
理由：∵∠ACB=90°，点D是AB中点，
∴∠BCD=∠B，
∵在⊙O中，∠BCD=∠FEC，
∴∠FED=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴EF为⊙O的直径，
∴∠EDF=90°，
∴∠EDF=∠ACB，
∴△FED∽△ABC；
（2）在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
当点E与点A重合时，EF最长，
由（1）有，△FED∽△ABC
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{EF}{10}=\frac{5}{8}$，
∴EF=$\frac{25}{4}$，
当圆心O落在CD上时，EF最短，此时EF=CD=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴5≤EF≤$\frac{25}{4}$，
∴$\frac{5}{2}$≤r≤$\frac{25}{8}$；
（3）连接OD，
∵⊙O与AB相切与D，
∴∠ODB=90°，
∴∠FDB+∠ODF=90°，
∵△FED∽△ABC，
∴∠EFD=∠A，
∵OD=OF，
∴∠EFD=∠ODF，
∴∠ODF=∠A，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠FDB=∠B，
∴FD=FB，
同理：EA=ED，
∵△FED∽△ABC，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$，
设DE=4x，DF=3x，
∴AE=4x，BF=3x，EF=5x，
∴CE=6-4x，CF=8-3x，
根据勾股定理得，（6-4x）²+（8-3x）²=（5x）²，
∴x=$\frac{25}{24}$，
EF=5x=$\frac{125}{24}$，
∴⊙O的半径r为$\frac{125}{48}$．

点评 此题是圆综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角，解本题的关键是圆中相似三角形条件的判断∠BCD=∠FEC难点是判断EF最长和最短得位置