Question

4．如图，正方形ABCD的边长为2，DC边在x轴上，DC的中点与坐标原点O重合，点M是x轴上的一个动点，求$\frac{MA}{MB}$的最大值．

Answer 1

分析 设M（x，0），可得$（\frac{MA}{MB}）^{2}$=$\frac{（x+1）^{2}+4}{（1-x）^{2}+4}$=1+$\frac{4x}{{x}^{2}-2x+5}$=1+$\frac{4}{x+\frac{5}{x}-2}$，设y=x+$\frac{5}{x}$，则x²-xy=5=0，利用判别式求出y的最小值，即可解决问题．

解答 解：设M（x，0），显然x＞0，
∵点A坐标（-1.2），点B坐标（1，2），
∴MA²=（x+1）²+4，BM²=（1-x）²+4，
∴$（\frac{MA}{MB}）^{2}$=$\frac{（x+1）^{2}+4}{（1-x）^{2}+4}$=1+$\frac{4x}{{x}^{2}-2x+5}$=1+$\frac{4}{x+\frac{5}{x}-2}$，
设y=x+$\frac{5}{x}$，则x²-xy=5=0，
∵△=y²-20≥0
∴y≥2$\sqrt{5}$，
∴（$\frac{MA}{MB}$）²≤$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{MA}{MB}$≤$\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$，
∴$\frac{MA}{MB}$≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{MA}{MB}$的最大值为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是构建一元二次方程，利用判别式解决问题，题目有难度，学会求最值的方法是主要的．