题目内容
10．
如图，?ABCD的顶点O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，∠COA=60°，OA=10，OC=4，反比例函数的图象在第一象限内过点C．（1）求点B的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）动点P在反比例函数位于第一象限的图象上，过点P作PE∥x轴交边OC于点E，作PF∥OC交x轴于点F，画出图形．四边形OEPF有可能为菱形吗？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．（注：各小题的结果用根号表示）
分析 （1）延长BC交y轴于点D，根据∠COA=60°，OA=10，OC=4可知CD=$\frac{1}{2}$OC=2，故可得出B点坐标；
（2）求出C点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
（3）假设存在四边形OEPF有可能为菱形，过点P作PG⊥x轴于点G，根据PE∥x轴，PF∥OC可知四边形OEPF是平行四边形．设OE=PE=2x，由∠COA=60°可知FG=x，PG=$\sqrt{3}$x，故P（3x，$\sqrt{3}$x），再由点P在反比例函数的图象上求出x的值即可．
解答 
解：（1）延长BC交y轴于点D，
∵∠COA=60°，OA=10，OC=4，
∴CD=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴B（12，2$\sqrt{3}$）；
（2）∵OC=4，CD=2，
∴OD=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴C（2，2$\sqrt{3}$），
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$；
（3）能．
假设存在四边形OEPF有可能为菱形，过点P作PG⊥x轴于点G，
∵PE∥x轴，PF∥OC，
∴四边形OEPF是平行四边形．
设OE=PE=2a，
∵∠COA=60°，
∴FG=a，PG=$\sqrt{3}$a，
∴P（3a，$\sqrt{3}$a），
∵点P在反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴$\sqrt{3}$a=$\frac{4\sqrt{3}}{3a}$，
解得a=2，
∴P（6，2$\sqrt{3}$）．
点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点，菱形的判定与性质等知识，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
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