Question

7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．
（1）求点B的坐标，并写出经过A，B两点且对称轴是y轴的抛物线的解析式；
（2）当点P在x轴上运动（P不与原点O重合）时，∠ABQ是否发生改变，若改变，请说明理由；若不改变，请求出∠ABQ的大小；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点T为平面直角坐标系内一点，且△TOA，△TOB，△TAB均为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的T点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意作辅助线过点B作BC⊥y轴于点C，根据等边三角形的性质即可求出点B的坐标，
（2）根据∠PAQ=∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB，得出△APO≌△AQB总成立，得出当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°，
（3）根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果．
（4）若点T为平面直角坐标系内一点，且△TOA，△TOB，△TAB均为等腰三角形，则T在OA、OB、OC的垂直平分线上，如图4所示，然后通过解直角三角形即可求得T的坐标．

解答 解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C，如图1，
∵A（0，2），△AOB为等边三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$，OC=AC=1，即B（$\sqrt{3}，1$）；
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+2；
（2）不改变．
如图2，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，
∵∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AQ}\\{∠PAO=∠QAB}\\{AO=AB}\end{array}\right.$
∴△APO≌△AQB，
∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立，
∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°．
（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．
①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，如图2，
此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，
当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．
又OB=OA=2，可求得BQ=$\sqrt{3}$，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=$\sqrt{3}$，
∴此时P的坐标为（-$\sqrt{3}$，0）．
②当点P在x轴正半轴上时，点Q在B的上方，如图3，
此时，若AQ∥OB，四边形AOBQ即是梯形，
当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°．
又AB=2，可求得BQ=2$\sqrt{3}$，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2$\sqrt{3}$，
∴此时P的坐标为（2$\sqrt{3}$，0）．
综上，P的坐标为（-$\sqrt{3}$，0）或（2$\sqrt{3}$，0）．
（4）若点T为平面直角坐标系内一点，且△TOA，△TOB，△TAB均为等腰三角形，则T在OA、OB、OC的垂直平分线上，如图4所示，
∵A（0，2），（$\sqrt{3}$，1），
∴T₁（$\sqrt{3}$-2，1），T₂（1，2-$\sqrt{3}$），T₃（1，$\sqrt{3}$），T₄（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）．
故T点的坐标为（$\sqrt{3}$-2，1）或（1，2-$\sqrt{3}$）或（1，$\sqrt{3}$）或（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）．

点评 本题是二次函数的综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质、梯形的判定和性质以及全等三角形的判定及性质，难度适中．