Question

13．如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：∠BAC=∠CBP；
（2）求证：PB²=PC•PA；
（3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠ACB=∠ABP=90°，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，
∴∠ACB=∠ABP=90°，
∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90°，
∴∠BAC=∠CBP；

（2）∵∠PCB=∠ABP=90°，
∠P=∠P，
∴△ABP∽△BCP，
∴$\frac{PB}{AP}=\frac{PC}{PB}$，
∴PB²=PC•PA；

（3）∵PB²=PC•PA，AC=6，CP=3，
∴PB²=9×3=27，
∴PB=3$\sqrt{3}$，
∴sin∠PAB=$\frac{PB}{AP}$=$\frac{3\sqrt{3}}{9}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．