Question

5．钓鱼岛自古以来就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视检测．如图，E、F为钓鱼岛东西两端．某日，中国一艘海监船从A点向正北方向巡航，其航线距离钓鱼岛最近距离CF=20$\sqrt{3}$海里，在A点测得钓鱼岛最西端F在点A的北偏东30°方向，航线20海里后到达B点，测得最东端E点在B的东北方向（C、F、E在同一直线上）．（$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{7}$≈2.65，结果精确到0.1）
（1）求钓鱼岛东西两端的距离．
（2）若监测船在B点突然检测到F点处有轮艘船出了故障，1.5小时内必须进行抢修．监测船以每小时25海里的速度赶往F点，能否赶到？

Answer 1

分析 （1）首先根据方向角定义结合已知条件，得出∠CAF=30°，FC=20$\sqrt{3}$海里，AB=20海里，∠CBE=45°，然后根据正切函数定义得出AC，再求出EC，进而得出EF长度即可；
（2）连结BF．在Rt△BCF中利用勾股定理得出BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=20$\sqrt{7}$，根据时间=路程÷速度全程监测船所用时间，与1.5小时比较即可．

解答 解：（1）由题意可得出：
∵∠CAF=30°，CF=20$\sqrt{3}$海里，AB=20海里，∠CBE=45°，
∴AC=$\frac{CF}{tan∠CAF}$=$\frac{20\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=60（海里），
∴EC=BC=AC-AB=60-20=40（海里），
∴EF=EC-CF=40-20$\sqrt{3}$≈5.4（海里）．
答：钓鱼岛东西两端的距离约为5.4海里．

（2）如图，连结BF．
在Rt△BCF中，∵∠BCF=90°，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{4{0}^{2}+（20\sqrt{3}）^{2}}$=20$\sqrt{7}$，
∵监测船以每小时25海里的速度赶往F点，
∴监测船所用时间为：$\frac{20\sqrt{7}}{25}$≈2.12＞1.5，
∴监测船以每小时25海里的速度赶往F点，不能赶到．

点评 此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理的应用，根据已知得出EC=BC是解（1）题的关键，求出BF的长是解（2）题的关键．