Question

19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC延长线上一点，点E是边AC上一点，如果∠EBC=∠D，BC=4，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$．
（1）求证：$\frac{CE}{AB}$=$\frac{BC}{BD}$；
（2）如果设BD=7，AB=$\overrightarrow{a}$，BC=$\overrightarrow{b}$，使用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的线性组合表示CE．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，根据“等边对等角”得到一对角相等，由已知的两角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形BCE与三角形DBA相似，由相似得比例得证；
（2）由$\frac{CE}{AB}$=$\frac{BC}{BD}$得CE=$\frac{4}{7}$AB=$\frac{4}{7}$AC，根据$\overrightarrow{CE}$=$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{CA}$=$\frac{4}{7}$（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）可得答案．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠EBC=∠D，
∴△BCE∽△DBA．
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{BC}{BD}$．

（2）∵$\frac{CE}{AB}$=$\frac{BC}{BD}$，BC=4，BD=7，
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{4}{7}$，即CE=$\frac{4}{7}$AB，
又AB=AC，
∴CE=$\frac{4}{7}$AC，
∴$\overrightarrow{CE}$=$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{CA}$=$\frac{4}{7}$（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{4}{7}$（-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=-$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{b}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质及向量的运算，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．