Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3AC，若将Rt△ABC绕着点A顺时针旋转得到Rt△AED，连接CD并延长交BE于点F．若CD=6，则BF的长为9．

Answer 1

分析 先证明△ACD∽△ABE得到BE：CD=3：1得BE=18，再证明AF⊥BE即可求出BF的长．

解答 解：连接AF．
∵△ADE是由△ACB旋转得到，
∴∠CAD=∠BAE，
∵AC=AD，AB=AE，
∴∠ACD=∠C，∠ABE=∠AEB，
∵2∠ACD+∠CAD=180°，2∠ABE+∠BAE=180°，
∴∠ACD=∠ABE，
∴△ACD∽△ABE，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{CD}{BE}$，∠ACO=∠ABF，
∵AB=3AC，CD=6，
∴BE=18．
∵∠ACO=∠ABF，
∴四边形AFBC四点共圆，
∴∠AFE=∠BCA=90°，
∴AF⊥BE
∵AB=AE，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=9．
故答案为9．

点评 本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一的性质、三角形的内角和定理等知识，寻找相似三角形是解决问题的关键．