Question

11．在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，E，F分别在AC，BC上，∠EDF=90°，已知CE=4，AE=2，BF-CF=$\frac{3}{2}$，求AB．

Answer 1

分析 延长FD至点G，使得DG=DF，连接BG，EG，易证△ADG≌△BDF，可得AG=BF，∠DAG=∠B，可证明∠EAG=90°，根据等腰三角形底边三线合一性质可得EF=EG，设BF=AG=x，由勾股定理得出方程，解方程求出BF、CF，再由勾股定理求出AB即可即可．

解答 解：延长FD至点G，使得DG=DF，连接AG，EG，EF，如图所示：
∵D为斜边AB的中点，
∴AD=BD，
在△ADG和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}&{\;}\\{∠ADG=∠BDF}&{\;}\\{DG=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴∴△ADG≌△BDF（SAS），
∴AG=BF，∠DAG=∠DBF，
∵∠DBF+∠BAC=90°，
∴∠DAG+∠BAC=90°，
即∠EAG=90°，
∴EG²=AG²+AE²，
设BF=AG=x，
∵BF-CF=$\frac{3}{2}$，
∴CF=x-$\frac{3}{2}$，
∵∠EDF=90°，
∴DE⊥FG，
∵DG=DF，
∴EF=EG，
∴EF²=EG²，
在Rt△CEF中，EF²=CE²+CF²，
∴AG²+AE²=CE²+CF²，
即x²+2²=4²+（x-$\frac{3}{2}$）²，
解得：x=$\frac{19}{4}$，
∴BF=$\frac{19}{4}$，CF=x-$\frac{3}{2}$=$\frac{13}{4}$，
∴BC=BF+CF=8，
∵∠C=90°，AC=AE+CE=6，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强有一定难度，证明△ADG≌△BDF是解题的关键．