Question

8．如图所示，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象经过点A（-$\sqrt{3}$，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2$\sqrt{3}$．
（1）求k和m的值；
（2）若一次函数y=ax+b的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，且∠ACO=30°，求该直线的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）把A（-$\sqrt{3}$，m）代入反比例函数，可得k=-$\sqrt{3}$m，且m＞0，再根据△AOB的面积为2$\sqrt{3}$可得$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$•m=2$\sqrt{3}$，解可得m，进而可求k；
（2）因为要满足∠ACO=30°这个条件，所以必须分类讨论：C点在负半轴、C点在正半轴．求C点坐标后再求直线解析式．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象经过点A（-$\sqrt{3}$，m），
∴-$\sqrt{3}$m=k，且m＞0，
∵AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2$\sqrt{3}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•OB•AB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$•m=2$\sqrt{3}$，
∴m=4，A（-$\sqrt{3}$，4）
∴k=-$\sqrt{3}$m=-4$\sqrt{3}$；

（2）分类讨论：
①C点在负半轴．在△ABC中，AB=4，∠C=30°，
∴BC=4$\sqrt{3}$，C（-5$\sqrt{3}$，0）；
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{-5\sqrt{3}a+b=0}\\{-\sqrt{3}a+b=4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
所以直线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+5．
②C点在正半轴．在△ABC中，AB=4，∠C=30°，
∴BC=4$\sqrt{3}$，C（3$\sqrt{3}$，0）；
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{3\sqrt{3}a+b=0}\\{-\sqrt{3}a+b=4}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以满足条件的直线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3．
综上所述，所以满足条件的直线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+5和y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，此题中C点位置没有明确，需根据题意分情况探索，所以需分类讨论．分类讨论的思想训练学生思维的严密性．