Question

18．如图，一次函数，一次函数y=kx+5（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象相交于A（2，b），B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先利用反比例函数解析式代入$y=\frac{8}{x}$求出b=4，得到A点坐标为（2，4），然后把A点坐标代入y=kx+5中求出k，从而得到一次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5；
（2）由于将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5-m，则直线y=-$\frac{1}{2}$x+5-m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程$\frac{8}{x}$=-$\frac{1}{2}$x+5-m只有一组解，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．

解答 解：（1）把A（2，b）代入$y=\frac{8}{x}$得b=$\frac{8}{2}$=4，
所以A点坐标为（2，4），
把A（2，4）代入y=kx+5得2k+5=4，解得k=-$\frac{1}{2}$，
所以一次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5；

（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5-m，
∵直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点，
∴$\frac{8}{x}$=-$\frac{1}{2}$x+5-m，
整理得x²-2（m-5）x+16=0，
△=[2（m-5）]²-4×1×16=0，解得m=9或m=1，
即m的值为1或9．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数与几何变换．