Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：计算题

分析：（1）根据等腰三角形的性质得∠ABC=∠C，再利用三角形内角和计算出∠C=

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（180°-∠BAC）=67.5°，接着根据圆周角定理得∠AEB=90°，然后利用三角形外角性质求∠EBC的度数；
（2）连结AD，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，则AD⊥BC，然后根据等腰三角形的性质即可得到BD=CD．

解答：（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠C=

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（180°-∠BAC）=

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（180°-45°）=67.5°，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠AEB=∠EBC+∠C，
∴∠EBC=90°-67.5°=22.5°；
（2）证明：连结AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质．