Question

10．如图1，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，EC切⊙O于点C，OP⊥AO交AC于点P，交EC的延长线于点D．
（1）求证：△PCD是等腰三角形；
（2）CG⊥AB于H点，交⊙O于G点，过B点作BF∥EC，交⊙O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE=$\frac{3}{5}$，CQ=5，求AF的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由切线性质和垂直性质得∠1+∠3=90°、∠2+∠4=90°，继而可得∠3=∠5得证；
（2）连接OC、BC，先根据切线性质和平行线性质及垂直性质证∠BCG=∠QBC得QC=QB=5，而sinE=sin∠ABF=$\frac{3}{5}$，可知QH=3、BH=4，设圆的半径为r，在RT在△OCH中根据勾股定理可得r的值，在RT△ABF中根据三角函数可得答案．

解答 解：（1）连接OC，

∵EC切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴∠1+∠3=90°，
又∵OP⊥OA，
∴∠2+∠4=90°，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
又∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴DP=DC，即△PCD为等腰三角形．
（2）如图2，连接OC、BC，

∵DE与⊙O相切于点E，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC+∠BCE=90°，
又∵CG⊥AB，
∴∠OBC+∠BCG=90°，
∴∠BCE=∠BCG，
∵BF∥DE，
∴∠BCE=∠QBC，
∴∠BCG=∠QBC，
∴QC=QB=5，
∵BF∥DE，
∴∠ABF=∠E，
∵sinE=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠ABF=$\frac{3}{5}$，
∴QH=3、BH=4，
设⊙O的半径为r，
∴在△OCH中，r²=8²+（r-4）²，
解得：r=10，
又∵∠AFB=90°，sin∠ABF=$\frac{3}{5}$，
∴AF=12．

点评 本题主要考查切线的性质、平行线的性质及三角函数的应用等知识的综合，根据切线性质和平行线性质及垂直性质证∠BCG=∠QBC是解题的关键．