Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°后得到△ADE，若AC=1，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是$\frac{π}{2}$（结果保留π）．

Answer 1

分析 根据阴影部分的面积是：S_扇形DAB+S_△ABC-S_△ADE-S_扇形ACE，分别求得：扇形BAD的面积、S_△ABC以及扇形CAE的面积，即可求解．

解答 解：∵∠C=90°，∠BAC=60°，AC=1，
∴AB=2，
扇形BAD的面积是：$\frac{60×π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
在直角△ABC中，BC=AB•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，AC=1，
∴S_△ABC=S_△ADE=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
扇形CAE的面积是：$\frac{60π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{π}{6}$，
则阴影部分的面积是：S_扇形DAB+S_△ABC-S_△ADE-S_扇形ACE
=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$
=$\frac{π}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积是：S_扇形DAB+S_△ABC-S_△ADE-S_扇形ACE是关键．