Question

15．如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（　　）

• A． 5
• B． 7
• C． 8
• D． $\frac{13}{2}$

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形，则CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=4$\sqrt{3}$，AH=BH=4，再利用勾股定理计算出CP=7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可．

解答 解：作CH⊥AB于H，如图，
∵菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=4$\sqrt{3}$，AH=BH=4，
∵PB=3，
∴HP=1，
在Rt△CHP中，CP=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=7，
∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，
∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，
∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，
∴∠APQ=∠CPQ，
而CD∥AB，
∴∠APQ=∠CQP，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CQ=CP=7．
故选B．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小．