Question

13．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图如图①摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针开始旋转，如图②，当点P恰好落在BC边上时，S_阴影=$\frac{π}{24}$+$\frac{\sqrt{3}}{16}$．

Answer 1

分析 首先设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，则可求得∠RKQ的度数，于是求得答案．

解答 解：如图所示：设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H
过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，
∴∠POH=30°，
∴α=60°-30°=30°，
∵AD∥BC，
∴∠RPO=∠POH=30°，
∴∠RKQ=2×30°=60°，
∴S_扇形KRQ=$\frac{60π×（\frac{1}{2}）^{2}}{360}$=$\frac{π}{24}$，
在Rt△RKE中，RE=RK•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴S_△PRK=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{16}$，
∴S_阴影=$\frac{π}{24}$+$\frac{\sqrt{3}}{16}$；
故答案为：$\frac{π}{24}$+$\frac{\sqrt{3}}{16}$．

点评 本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理以及锐角三角函数的知识．注意根据题意正确的画出图形是解题的关键．