Question

如图 ①，点P是正多边形A₁A₂A₃…A_n的边A₂A₃上一点（不与点A₂，A₃重合），M是A₂A₃延长线上一点，连结A₁P．
（1）当n=3时，如图 ②所示，将线段A₁P绕点P顺时针旋转60°得到线段PN，连结A₃N．
（i）求证：∠A₂A₁P=∠NPA₃；
（ii）求∠NA₃M的大小；
（2）当n=k（k≥4）时，将线段A₁P绕点P顺时针旋转

(k-2)•180°

k

得到线段PN，连结A₃N．试猜想∠NA₃M的大小，并说明理由．
 

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）（i）根据三角形外角的性质，可得∠A₁PA₃=∠A₂A₁P+∠A₂，再根据角的和差，等量代换，可得答案；
（ii）根据平行线的性质，可得∠NQA₃=∠A₁A₃A₂=60°，根据AAS，可得A₁A₂=PM，再根据等量代换，线段的和差，可得A₃M=NM，可得等边三角形，可得答案；
（2）与（1）中（ii）的方法相同，可得A₃Q=NQ，∠NQA3=

(k-2)•180°

k

，再根据等腰三角形的性质，三角形的内角和公式，可得答案．

解答：（1）（i）证明：∵∠A₁PA₃是△A等边三角形；
∠A₁PA₃是△A₁A₂P的外角，
∴∠A₁PA₃=∠A₂A₁P+∠A₂，
而∠A₁PA₃=∠A₁PN+∠NPA₃，
又∵∠A₂=∠A₁PN=60°，
∴∠A₂A₁P=∠NPA₃；
（ii）解：如图1：
，
过点N作NM∥A₁A₃交PM于M．
∴∠NMA₃=∠A₁A₃A₂=60°
∴∠A₂=∠NMA₃
在△A₁A₂P和△PMN中，

∠A2A1P=∠MPN ∠A1A2P=∠PMN AP=NP

，
∴△A₁A₂P≌△PMN（AAS），
∴A₁A₂=PM，A₂P=NM．
又∵A₁A₂=A₂A₃，
∴A₂A₃=PM，
∴A₂P=A₃M，
∴A₃M=NM，
∴△A₃NM是等边三角形，
∴∠NA₃M=60°；
（2）∠NA3M=

180°

k

；                   
证明：如图2所示，

过N作NQ∥A₄A₃交PM于Q
与（1）中（ii）方法相同易得△A₁A₂P≌△PQN，
A₂P=NQ，PQ=A₁A₂=A₂A₃，
∴A₃Q=NQ，
∴∠NQA3=

(k-2)•180°

k

，
∴△A₃NQ是等腰三角形，
∴∠NA3M=

180°- (k-2)•180° k

2

=

180°

k

．

点评：本题考查了几何变换综合题，利用了三角形的外角的性质，全等三角形的性质，构造全等三角形是解题关键，题目稍有难度．