题目内容
【题目】如果抛物线m的顶点在抛物线n上，同时抛物线n的顶点在抛物线m上，那么我们就称抛物线m与n为交融抛物线．
（1）已知抛物线a：
，判断下列抛物线b：
，c：
与已知抛物线a是否为交融抛物线？并说明理由；
（2）在直线y=2上有一动点P（t，2），将抛物线a：绕点P（t，2）旋转180得到抛物线l，若抛物线a与l为交融抛物线，求抛物线l的解析式；
（3）M为抛物线a：的顶点，Q为抛物线a的交融抛物线的顶点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形MQS，使直角顶点S在y轴上？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线
与抛物线
不是交融抛物线，抛物线与抛物线
是交融抛物线，理由见解析；（2）所求抛物线
的解析式为
或
；（3）存在符合条件的等腰直角三角形，点S的坐标为（0,0）或（0,3）．
【解析】
（1）求出抛物线a的顶点坐标，分别代入抛物线b与抛物线c，判断即可；
（2）先确定抛物线a的顶点M的坐标，作点M关于点P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E、F，可求出N的纵坐标，代入求出N的横坐标，分类讨论即可；
（3）设点S（0，c），则点Q的坐标分两类：①M，Q，S逆时针分布时；②M，Q，S顺时针分布时，分别求解即可．
解：（1）∵抛物线
的顶点坐标为
，
当
时，
，
∴点
不在抛物线上，
∴抛物线与抛物线不是交融抛物线；
∵当时，
，
∴点在抛物线上，
∵抛物线
的顶点
，
当
时，
，
∴点
在抛物线上，
∴抛物线与抛物线是交融抛物线．
（2）抛物线的顶点坐标为．
∵将抛物线a：
绕点P（t，2）旋转180得到抛物线l，抛物线a与l为交融抛物线，作顶点关于点
的对称点，则点N为抛物线l的顶点，
分别过点、作直线
的垂线，垂足为
、
，则
，
∴点的纵坐标为4，
当
时，
，解得
，
，
∴
或
，
当时，设抛物线的解析式为
，
∵点在抛物线上，
∴
，∴
，
∴抛物线的解析式为
；
当时，设抛物线的解析式为
，
∵点在抛物线上，
∴
，∴，
∴抛物线的解析式为
，
∴所求抛物线的解析式为或．
（3）设点
，则分以下两种情况：
①当，
，
逆时针分布时（如图中），
过点作
轴于
，则∠QDS=∠SOM=90°，SM=SQ，∠MSQ=90°，
∴∠OSM+∠DSQ=∠DQS+∠DSQ=90°，∠OSM=∠DQS，
∴
（AAS），
∴
，OM=DS，
∴
，∴点
，
∵点在抛物线上，∴
，
解得
或
，
∴
或
；
②当，，顺时针分布时（如图中
），
同理可得
，
∵点在抛物线上，
∴
，即
，
∵
，∴此方程无解，
综上所述，存在符合条件的等腰直角三角形MQS，此时点S的坐标为（0,0）或（0,3）．
